简谐振动运动学方程的多种推导方式及其奇怪关系探讨_W66利来国际

然而简谐振动的美妙之处不仅体现在公式的各种推导上，还存在着一些奇怪的关系。今天我们就来聊聊他们。

我们已经知道，用来描述振子位移随时间变化的关系可以写成如下正弦（或余弦）函数的形式，即

不仅如此，我们还会在书中看到另一种说法，说简谐振动的运动学方程也可以用下面的复指数形式表示，即

不知道大家看到上面这两种表达方式是否感到奇怪。我认为至少有两个方面很奇怪：

弹簧振子的简谐振动是一维问题，而三角函数则源自三角学，是骨子里带有二维“基因”的几何问题。一维的事物如何用二维的术语来表达？它们之间有几何联系吗？

弹簧振荡器距平衡位置的位移应该是实数。表达式中怎么会有虚数呢？

事实上，我们得从欧拉公式和复平面开始。

美丽的欧拉公式

我们先来说说欧拉公式。欧拉公式一般表示为：

它被称为数学史上最美丽的公式之一。为什么这么说？因为当我们代入上面的公式后，我们就会得到一个神奇的公式，那就是。

它有什么美妙之处呢？因为它用极其简洁的方式将两个最重要的无理数(,)、最重要的虚数()、两个最重要的元素(0, 1)、最重要的运算符()和最重要的关系符号组合在一起() 全部相连。这实在是太了不起了，我们不禁想知道这是否是上帝创造之书中的珍贵一页。

了解了欧拉公式后，我们现在将了解它与简谐振动的关系。

复数和复平面上的点

现在请让我们重点关注欧拉公式等号右侧的部分。可以看到欧拉公式右边是两项之和，一项是实数，一项是虚数。在数学中，我们将这种形式的数字（其中均为实数）称为复数。其中称为复数的实部，称为复数的虚部，称为虚数单位。

我们都知道任何实数都可以用实数轴上的对应点来表示，但是复数可以表示吗？复数也是可能的。然而，复数与实数不同。实数只需要一维上的点，但如果要确定复数，则必须同时确定实部和虚部（即和）。因此，复数必须由两个数轴组成的平面来表示，其中之一是数轴。一个用于确定实部，另一个数轴用于确定虚部。我们称这个特殊平面为复平面。

这样，任何复数都可以找到与复平面上的点一一对应的关系，如下图所示。

上图实际上使用了两种坐标来表示复数：一种是使用点的直角坐标形式；另一种是使用点的直角坐标形式。另一种是采用点的极坐标形式，称为复数模、复数自变量。

如果两个坐标描述的是同一件事，那么这两个坐标一定是相关的，对吗？不难看出，两个坐标之间的对应关系可以通过下面两个公式来体现，即

让这个点绕一圈

死点没有什么有趣的，重要的是让它移动。例如，让该点以恒定速度绕一圈旋转。像这样。

由于标出了该点的横轴坐标和纵轴坐标，我们可以直观地看到该点在匀速旋转的过程中，并且周期性地变化。它们一会儿取正值，一会儿取负值，一会儿变大，一会儿变小，两者大小的变化相反，这与正弦函数和余弦函数。这太不可思议了。简谐振动不是用正弦函数或余弦函数来表示吗？小伙子，你是不是隐约感觉匀速圆周运动和正弦、余弦函数似乎有点暧昧？

为了更详细地描述该点的匀速圆周运动，我们用极坐标来表示直角坐标。假设力矩点位于半径为的圆上的任意位置，角为。设该点匀速旋转的角速度为。那么经过一段时间后，该点旋转的角度值为。此时，任意时刻后该点的直角坐标位置应为

圆周运动与简谐振动的联系

哈哈，上面的公式不就是简谐振动的表达吗？为了直观地看到匀速圆周运动水平轴和垂直轴的变化，我创建了以下图片和动画。图中表示了粒子任意时刻的位置坐标在横轴和纵轴上的分量。可以看出，随着时间的变化，这些分量按照正弦和余弦函数变化。