职业足球联赛的淘汰赛或奖杯争夺战出现平局时，将进入加时赛。两队轮流罚点球，直至分出胜负。这时，采用抛硬币的方式来决定哪队先走。罚球。类似地，当美国国家橄榄球联盟 (NFL) 比赛平局进入加时赛时，通过掷硬币来决定哪支球队首先进攻以及哪支球队进入加时赛。球队首先防守。

在这两项运动中，我们可以说抛硬币是一种有缺陷的决策机制，可以显着影响输赢的结果。由于笔者对美式足球这项运动比较熟悉，因此本文将重点讨论这项运动，但稍后我们会回到足球情况的分析。

职业足球联盟采用猜硬币的方法来决定谁进攻、谁防守。图片由皮埃尔-塞利姆提供

NFL 中的问题

NFL在加时赛中采用抛硬币来决定谁传球、谁接球的做法在投球前看似完全公平，但在投球后就会出现问题。虽然抛硬币的结果是公平的，两队获胜的机会均等，但抛硬币后猜对的球队占据明显优势，总是选择接球防守。如此算来，从 1994 年到 2011 年的所有赛季，接球队在加时赛中的胜率接近 60%，其中开局胜率高达 34%。

从2012赛季开始，NFL试图改善这个问题，采用了投篮排除法：防守队必须通过第一次进攻达阵（达阵）（6分）来赢得比赛，而不仅仅是传球和以前一样。投篮命中（3分）即可获胜。也就是说，你必须达阵才能立即赢得比赛。但在第一波攻击之后，比赛可能会因立即死亡而结束，即最先得分的球队将赢得比赛。

当这条规则应用于2011-2012年季后赛时，两场平局均由猜对硬币的球队获胜。 2012-2013赛季，共有23场加时赛（相当于比赛总数的8%），其中一场以平局告终。在使用该规则进行的 24 场非平局加时赛中，尽管采用了投篮排除法，但其中 16 场（即 2/3）是防守队获胜，其中 8 场（即, 1 /3) 由进攻方获得。换句话说，猜对掷硬币的队伍平均有 2/3 的机会赢得加时赛。

开场行情：双赢策略

我们认为需要更彻底的解决方案来消除这种不公平的机会。我们提出的规则使团队自己扮演自己的角色比让其他团队扮演自己的角色更令人满意。

如果规则下的每支球队，无论是在加时赛开始时进攻还是防守，都更愿意扮演自己的角色而不是对手的角色，则该规则被称为公平。在这种情况下，每支球队都认为自己比对手处于更好的位置。

这怎么可能？我们的解决方案基于与买卖交易相同的原则，即买方和卖方通过就商品价格达成一致而获得相同程度的满意度。由于双方有不同的偏好——买方更喜欢货物而不是金钱，卖方更喜欢金钱而不是货物——交易是双赢的。

我们建议球队不要在商品价格上讨价还价，而应该就空位进行谈判。与通常的加时赛开球不同的是，开球从特定的码线开始。码线的位置是通过平均两队的出价来确定的，出价较低的球队（其意义很快就会明白）为进攻方，出价较高的球队为防守方。这个结果使得两支球队对自己目前的位置和对方的位置都同样满意。

为了说明这一点，假设 A 队在 20 码线处叫牌，这意味着

我们称此为A队的冷漠点，因为从己方20码线开始进攻和对方20码线开始防守，此时他们认为自己队获胜的机会是相等的（尽管不是必然是 50-50 的机会 --- 这取决于团队本身的相对技能）。我们假设每支球队都有一个冷漠点，面对不同的对手时，冷漠点可能会有所不同（取决于双方的强弱）。

为了继续解释，假设 B 队的冷漠点是 30 码线。两队的平均叫价是25码线，从客场比赛开始，A队进攻（因为它给出了20码的低叫价），B队防守。

比赛开始时，注意A队作为进攻队，距离B队得分线比他们打开的进攻冷漠点20码线更近5码，因为他们现在需要带球的距离是75码。而不是原来报价的80码。同样，B队的防守起始线比其防守无差异点（30码线）远5码，因为他们需要停止的进攻是75码，而不是原来的70码。

因为每支球队根据他们的报价获得相同的增益（5 码）。这种解决方案不仅对双方来说是双赢的，而且是公平的——每队对自己当前位置的满意度与对手的位置同样满意：如果A队扮演B队的角色，他们必须从对手25码处开始防守线，但更愿意从对方20码线开始防守。同样，B 队对自己的位置比 A 队的位置更满意，同样高出 5 码。

它有利于最诚实的一方

一个团队可以从单方面偏离其真正的冷漠点并报告不诚实的冷漠点中受益吗？假设 A 队不诚实地出价 x，这里是 20x，因此出价过高。这样做确实有助于它发挥进攻作用，因为它使报价平均值更接近 30，而不是 20。但是低出价 (x) 有缺点，因此其最佳偏差有一个下限。那么，A队可以从高出价（30）中获得一定程度的收益——它不知道这一点，因为它不知道B队会出价30。事实上，因为这个游戏是一个不完全信息游戏，所以A队不能甚至可以判断其出价是否低于或高于 B 队的出价。

下面假设报价x>30。那么A队就必须防守。更糟糕的是，这样做会让B队移动不到70码即可得分。不仅B队的表现会比自己的冷漠点更好，而且A队也会更喜欢B队的位置，因为30+远大于A队20码的冷漠点。

显然，规避风险，甚至风险中性的团队有动机诚实地投标，因为任何方向上的偏差——一个方向上一定程度的偏差（例如，A 队出价较低），或另一个方向上的偏差较大的值（例如A队的报价超出真实值10码）---会带来不利。因此，诚实似乎是报价游戏中的强制策略。

足球比赛中引语的运用

足球比赛中，罚球是在距球门11米的罚球线上进行的。通常发生在淘汰赛或奖杯赛中，如果90分钟和加时赛后仍打平，则需要通过点球决出胜负。

掷硬币决定哪队先罚点球，然后两队轮流罚点球，直至每队罚完五个点球。如果这5个进球后没有球队领先，则进入下一步。在这一步中，两队轮流罚球，一次一个，直到其中一方领先并赢得比赛。

2012 年欧洲冠军联赛决赛中，菲利普·拉姆主罚点球。足球比赛中，通过掷硬币来决定哪支球队在点球大战中首先罚点球。图片由马库斯·昂格尔拍摄。

就像在 NFL 中一样，猜对硬币的球队具有优势：统计显示，在点球大战中第一个罚进点球的球队有 60% 的获胜机会，并且比其他球队有 3:2 或 50% 的优势射出第二个点球的球队。 。但通过两支球队对罚球线的叫价，将罚球线设定为两次叫价的平均值，然后叫价较高的球队获得先罚球的奖励。这种方法是有问题的，因为距离目标太近（例如6米或更近）可能不是优点而是缺点。这是因为守门员可以更轻松地移动以防守如此短距离的射门，尽管他或她的反应时间缩短了。因此，我们建议出价较高的球队先罚球，而出价较低的球队则需要从标准的11米处开始。

两队都会选择报价11米吗？显然不是，因为他们愿意在不影响罚球机会的情况下多报价1厘米。这样一来，报价肯定会以某队身高大于11米而结束。目前还不清楚的是，需要比 11 米大多少，球队才能在罚球顺序上没有差异。

显然，这种计算将取决于球队和对手的质量、点球手和守门员的技术。但无论每支球队的计算如何，这些报价都将有助于创造公平的竞争环境。

综上所述

我们对足球加时赛中的开场线报价或足球点球大战中的罚球线报价的建议，请抓住抛硬币的机会。与其他团队的选择相比，这使得每个团队对自己的选择同样满意。

这一提议实际上将为这两项运动增加了新的战略元素：在橄榄球中，它将创造一个悬念——哪支球队将进攻和防守，起跑线在哪里；球队先罚点球，罚球线在哪里。虽然橄榄球和足球的球迷会认为这个提议不是“纯粹”的竞争测试，但抛硬币也不是。在所有的好处中，报价可以让球队对自己的选择负责，而不是让他们将糟糕的表现归咎于运气不好。

体育运动不断朝着更加公平的方向发展。 1979 年美国国家篮球协会 (NBA) 的三分线就是证明，以奖励远投所需的额外技能，而美国国家橄榄球联盟 (NFL) 在 1979 年采用两分转换，通过跑动或投掷而非踢球来获得双倍奖励。在足球比赛中，1970年红黄牌警告的引入使球员和教练更加了解裁判的决定。 2012年推出的球门线技术用于判断足球是否通过球门平面。这些都是这项运动的发明。例子。我们相信橄榄球比赛和足球比赛加时赛规则的演变也是如此。