1、线速度：就是前面学过的曲线运动的速度，这是速度的基本定义。

V=Δx/Δt（Δt→0）方向沿曲线沿该点的切线方向移动。

一般来说，考虑匀速圆周运动时，瞬时速度等于平均速度，因此V=距离/时间=弧长/时间。转一圈的时间为周期T，距离为圆周2πR，所以匀速旋转的线速度为V=2πR/T。物理意义：描述空间位置变化的速度和方向。

2、角速度：Ꙍ=Δθ/Δt(Δt→0) 单位符号为rad/s。

物理意义：描述物体绕某一点旋转的速度和方向。角速度的方向由右手螺旋定则求得。在高中阶段，你只需要知道角速度也有方向。转一圈的时间为周期T，360°对应的弧度为2π，所以匀速旋转的线速度为Ꙍ=2π/T。比较线速度V=2πR/T，可得V=ꙌR。

（题外话：为什么要引入弧度制？原因一：将角度和长度直接联系起来，这样角度的大小就可以直接表示为“弧长/半径”。弧长对应的圆心角等于半径长度称为1弧度第二个原因：弧度是实数，而角度是数字和单位的组合所谓的实数可以用坐标轴上的点来表示，显然180°不能用点来表示。在坐标轴上，π约等于3.1415926，可以用坐标轴（数轴）上的点来表示。原因三：弧度制是十进制，角度制是六十进制。

3、线速度与角速度的关系：由上面V=2πR/T和Ꙍ=2π/T的比较，可以得到V=ꙌR

。

4. 周期T：旋转一圈的时间。单位符号：s

5. 频率f：周期的倒数。单位符号：HZ。与周期的关系为f=1/T。例如，T=2s，则f=1/T=0.5。可见，转一圈需要2秒，因此单位时间需要转半圈。因此，频率代表单位时间内的转数。

简而言之，周期就是每秒多少次，频率就是每秒多少次。回想一下高中一年级要求的点计时器。 50HZ的频率是指每秒50次。

6、速度n：当速度单位为转/秒（r/s）时，频率等于速度。

当转速的单位是每分钟转数时，可以将其换算成每秒转数。

7、速度、频率和转速的关系：V=2πR/T=V=2πRf=V=2πRn

8、向心加速度：指向圆心方向的加速度。许多材料中向心加速度的定义是在匀速圆周运动中定义的。事实上，无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，物体都必须具有向心加速度。公式：方向=V2/R 和方向=Ꙍ2R 这是两个基本公式。

2、运动训练

题型1.基本概念的理解

例1 电子钟秒针的角速度为（ ）

A. π rad/s B. 2π rad/s C． π/30 rad/s D. π/60 rad/s

分析：钟上有12个大格子，每个大格子有5个小格子。一圈有60个小格子。秒针走一小格需要1秒，所以秒针转一圈需要60秒（即周期），一圈对应的弧度是2π。因此，我们可以从 Ꙍ=2π/T 中选择 C。

例2.（多选）火车以60 m/s的速度转弯。一名旅客发现，放在桌子上的指南针在10秒内匀速旋转了约10°。在这 10 秒内，列车 ( )

A．移动距离为600 m B．加速度为零

C. 角速度约为 1 rad/s D. 转弯半径约为 3.4 km

分析：与例1类似，首先求角速度。 180°对应的弧度是π，所以10°对应的弧度是π/18。使用的时间为10秒，因此角速度为Ꙍ=2π/T=π/180。

用V=ꙌR求半径D。曲线运动的合力不可能为零。匀速圆周运动的合力总是指向圆心，因此加速度总是指向圆心，即向心加速度，B错误。所以选择AD。

例3（多选）两个粒子A、B分别做匀速圆周运动。同一时间内所经过的距离之比为sA:sB=2:3，转动的角度之比为φA:φB=3∶2，则下列说法正确的是（ ）

A. 它们的半径之比 rA:rB=2:3 B. 它们的半径之比 rA:rB=4:9

C. 它们的周期比 TA:TB=2:3 D. 它们的频率比 fA:fB=2:3 分析：看选项，问角速度、轨道半径、周期、频率，分别是描述圆周运动的基本量，已知条件同时是距离和角度。所以你应该首先想到得到最基本的线速度和角速度。选择BC。

实践，

1、某品牌电动自行车铭牌如下：

根据该铭牌上的相关数据可知，该车的额定速度约为（ ）

A. 15 公里/hb． 18公里/小时

C. 20 公里/小时 D. 25 公里/小时

分析：公式V=2πRn其实可以这样理解：汽车一转向前移动的距离是周长，转速是单位时间的转数，所以两者相乘就是单位前进的距离时间，即线速度。尺寸。因此，这里的速度n不需要转换成r/s。 R也不需要转换成单位。用单位计算后可以直接进行单位换算。 V=2πRn=π×508mm×210r/min=π×508×10－6km×210×60r/h≈20km/h

分析：如下图：

实线代表正面的条纹，虚线代表背面的条纹。假设向下看时逆时针旋转，A点会旋转到A´点，B点会旋转到B´点，所以看起来AB线向下移动到A´线B'与标题不一致。所以俯视时一定是顺时针旋转。当转半圈（T/2次）时，最右边的N点必须到达最左边的M点，看起来F点已经移动到了M点，即移动了L/2。所以V=L/T，所以T=L/V，所以n=V/L。选择B。

答案：ABD

4.（多选）当质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）

A、因为v=ωR，所以线速度v与轨道半径R成正比

B、因为ω=v/R，所以角速度ω与轨道半径R成正比

C、因为ω=2πn，所以角速度ω与转速n成正比

D、因为ω=2π/T，所以角速度ω与周期T成反比

答案：光盘

问题类型2：同轴旋转和带（齿轮）传动

同轴旋转：角速度相等。当你的头转动90°时，你的眼睛也转动90°，你的耳朵也转动90°。它们在同一时间内转动相同的角度，因此角速度相等。同一固体上除旋转轴外任意两点的角速度必须相等。

带（齿轮）传动：线速度相等。由于不存在打滑，因此皮带和轮子之间的接触点始终是一个点紧邻另一个点，因此轮子上的点旋转的距离与皮带上的点旋转的距离一样远。

处理方法：先挖掘，再展开为公式。一般最好先展开线速度和角速度的关系。例如，如果找出了线速度关系，则可以将其展开以获得角速度关系。相反，如果发现了角速度关系，则可以将其展开得到线速度关系。那么有了线速度和角速度的关系，就很容易进一步分析了。

第一步挖掘：BC同轴旋转，AB齿轮传动

有： ꙌB=ꙌC VA=VB

RC＜RB RA＞RB

第二步，将上面的公式代入展开式：

VB/RB=VC/RC ꙌARA=ꙌBRB

然后我们得到 VA=VB>VC ꙌA<ꙌB=ꙌC

可见A、B、C均错误。选择D。

现在看看为什么 D 是正确的。向心加速度有两种常用的基本表达式：方向a=V2/R和方向a=Ꙍ2R。这里使用的是哪一个？比较A点和B点的向心加速度，我们应该用方向=V2/R，因为A点和B点的线速度相等；而要比较B点和C点的向心加速度，我们应该用一个方向=Ꙍ2R，因为B、C两点的角速度相等。做题的时候一定要掌握同样的量。

类似的用等量解题的问题，公众号《数学与圆周运动的结合》上一篇文章中有两个问题1和2（链接）。你可以做到的。都是简单的题，但在考场紧张的环境下，很多学生可能都解不了方程。一个很重要的原因是在方程组的时候没有把握同量，即没有利用同量的条件。

例5、如图所示的带传动装置中，主动轮O1上两轮的半径分别为3r、r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C为三点分别位于跑步者的边缘。假设皮带不打滑。请问：

(1) A、B、C 点的线速度之比是多少？

(2) A、B、C 三点的角速度之比是多少？

(3) A、B、C 点的向心加速度之比是多少？

第一步挖掘：AB同轴旋转，BC皮带传动

有：ꙌA=ꙌBVB=VC

RA=3RB RC=2RB

第二步，将上面的公式代入展开式：

VA/RA=VB/RB ꙌBRB=ꙌCRC

这样，通过数值相加就可以得到A、B、C的线速度比和角速度比。然后用a=VꙌ就可以得到向心加速度的比值。

答案是：线速度之比为3:1:1，角速度之比为2:2:1，向心加速度之比为6:2:1

5.（多选）下图为压路机示意图。大轮的半径是小轮半径的1.5倍。 A、B分别是大轮和小轮边缘上的点。当滚筒向前移动时 ( )

A、A、B两点线速度之比 vA:vB=1:1

B、A、B点线速度之比 vA:vB=3:2

C、A、B点角速度之比 ωA:ωB=3:2

D、A、B点角速度之比 ωA:ωB=2:3

答案：AD

6.（多选）如图所示，匀速旋转的圆盘上有a、b、c三点。已知oc=Oa，则下列说法正确的是（ ）

A、a、b、c三点的角速度相同

B、a、b两点线速度相等

C、c点的线速度是a点线速度的一半

D、a点的加速度是c点的两倍

答案：ACD

7、如图所示，一个圆环以直径AB为轴做匀速旋转。 P、Q、R 是环上的三个点。下列说法正确的是（ ）

A、向心加速度的大小aP=aQ=aR

B、任意时刻，P、Q、R三点的向心加速度方向不同。

C、线速度vP＞vQ＞vR

D、任意时刻P、Q、R三点的线速度方向不同。

答案：C

注意问题6和问题7的情况是不同的。问题6中的旋转轴垂直于圆平面，而问题7中的旋转轴平行于圆平面。

8、如图所示，用一根长度为l的吊绳将一个质量为m的小球固定在O点。 O点正下方有一颗钉子，将吊绳拉直，与垂直方向成一定角度。球在静止状态下释放。当球从右向左摆动时，绳子到达钉子前后瞬间，球的向心加速度之比是多少？

分析：与钉子碰撞前后的瞬时速度不变，但半径变化，所以应采用一个方向=V2/R。答案是2：3。

题型3：圆周运动的追寻问题

例6 三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M>>m1，M>>m2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c作逆时针方向匀速圆周运动。它们的周期比为Ta:Tb=1:k；从图中位置开始，b运动一个周期的过程，则 ( )

A、a和b最接近的次数是k次 B、a和b最接近的次数是k+1次

C、a、b、c的共线性度为2kD。 a、b、c的共线性度为2k-2

分析：b旋转过程中，a、b最远的次数为k-1次，a、b最近的次数为k-1次，所以a、b、c的次数共线为 2k-2 ，选项 D 正确。

9、a、b在同一平面内绕c逆时针方向作匀速圆周运动。它们的周期比为TA：TB=1； 8；从图中位置开始，b的运动过程中，a、b、c各直线移动____次。

10、假设有一艘载人航天器在赤道上空一定高度绕地球作匀速圆周运动，周期为3小时，地球同步卫星运行周期为24小时。航天器和地球同步卫星绕地球同向运动，每当距离最近的时刻，航天器向同步卫星发射信号，同步卫星再将信号发送到地面接收站。在某个时刻，两人的距离最远。从此时起，一天一夜内，接收站总共接收到的次数为（ ）

A.4倍 B.6倍 C.7倍 D.8倍

答案：C 方法与上题完全相同

题型4：圆周运动与其他运动的结合

核心方法：掌握等时性，写一个方程就够了，就是你的运动时间等于我的运动时间。 （同一个过程中进行两个运动，同一个过程的时间当然是相等的）需要注意的是，圆周运动的时间通常用周期来表示。

分析：假设子弹的速度为v，子弹穿过两个孔所需的时间为d/v，这段时间纸筒旋转的角度为π-θ，所以圆周运动的时间是(π-θ)T/2π。等时性d/v=(π-θ)T/2π，解方程之前需要知道C。

问题类型 5. 圆周运动作为部分运动